以下是在向量中的运算，即类似，而不是矩阵中的运算！

根据翻译，内积又叫标量积、点积，还叫数量积。是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。

两个向量和的点积定义为：

使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1 矩阵，点积还可以写为：

其中，指示矩阵a的转置。注：有的同学觉得是，其实都没有错，到底是a的转置矩阵乘b，还是a乘b的转置取决于向量的矩阵表示方法，即一个n维向量，是用n*1的矩阵表示还是用1*n的矩阵表示。一般情况下，线性代数中，向量（vector）用列（column）而不是行（row）来表示，即N*1的矩阵表示一个N维向量。所以用a的转置矩阵乘b。疑问主要是因为对“向量”和“矩阵表示”没有区分。前面的两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]并不代表他是1*n的矩阵表示。

点积有两种定义方式：代数方式和几何方式。通过在欧氏空间中引入笛卡尔坐标系，向量之间的点积既可以由向量坐标的代数运算得出，也可以通过引入两个向量的长度和角度等几何概念来求解。

代数定义

设二维空间内有两个向量和，定义它们的数量积（又叫内积、点积）为以下实数：

几何定义

设二维空间内有两个向量和， 和表示向量a和b的大小，它们的夹角为，则内积定义为以下实数：

该定义只对二维和三维空间有效。 这个运算可以简单地理解为：在点积运算中，第一个向量投影到第二个向量上（这里，向量的顺序是不重要的，点积运算是可交换的），然后通过除以它们的标量长度来“标准化”。这样，这个分数一定是小于等于1的，可以简单地转化成一个角度值。

根据翻译，又称向量积、叉乘。数学中称向量积、外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。与点积不同，它的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量和垂直。其应用也十分广泛，通常应用于物理学光学和计算机图形学中。

对三维空间中的两个向量和作叉积，返回一个向量，垂直于和。在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

在二维空间中，叉乘还有另外一个几何意义就是：等于由向量a和向量b构成的平行四边形的面积。

代数定义

几何定义

向量积可以被定义为：

模长：（在这里θ表示两向量之间的夹角（共起点的前提下）（0°≤θ≤180°），它位于这两个矢量所定义的平面上。）

方向：a向量与b向量的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从a以不超过180度的转角转向b时，竖起的大拇指指向是c的方向。）

也可以这样定义（等效）：

在二维向量中，向量积|c|=|a×b|=|a||b|sin，即c的长度在数值上等于以a，b，夹角为θ组成的平行四边形的面积。而c的方向垂直于a与b所决定的平面，c的指向按右手定则从a转向b来确定。*运算结果c是一个伪向量。这是因为在不同的坐标系中c可能不同。